Faglig innhold

Emnet omhandler grupper og ringer. En gruppe er en av de enkleste matematiske objektene en studerer i moderne matematikk, og de dukker opp i svært mange sammenhenger. De er byggeklosser for symmetrier, mønstre og avbildninger. Om du studerer molekyler, krystaller, eller Rubiks kube, så er den underliggende matematiske strukturen en gruppe.

Emnet gir eksempler på aksiomatisk oppbygging av matematikken, og emnet tar opp grupper, undergrupper, homomorfier av grupper, sykliske grupper, permutasjonsgrupper, endelige abelske grupper, fundamentalteoremet for endelig abelske grupper, normale undergrupper, faktorgrupper, gruppevirkninger på en mengde, Sylowteori, elementær ringteori og endelige kropper, vektorrom over vilkårlige kropper, elementær tallteori med anvendelser på lineære kongruenser og hemmelige koder.

Læringsutbytte

1. Kunnskap. Studenten kjenner til grunnleggende begreper og metoder i gruppeteorien, inkludert normale undergrupper og faktorgrupper, permutasjonsgrupper og sykliske grupper. Studenten har kunnskap om klassifisering av sykliske grupper og av abelske grupper, om Lagranges og Cayleys teorem, samt Burnsides teorem om gruppevirkninger. Studenten kjenner til det fundamentale isomorfiteoremet for gruppehomomorfier, samt Sylowteoremene. Studenten kjenner også til grunnleggende begreper fra elementær ringteori, med vekt på kommutative ringer, og kroppsteori, med vektorrom over vilkårlige kropper. Studenten skal ha kjennskap til anvendelser av gruppeteori for telleresultater og tallteori for hemmelige koder (RSA). Studenten skal ha kunnskap om aksiomatisk oppbygging av matematikken, samt logiske grunnbegreper og bevisstrukturer.

2. Ferdigheter. Studenten kan gjenkjenne gruppe- og ringstrukturer og gruppevirkninger, og være i stand til analysere enkle egenskaper ved disse. Videre behersker studenten teorien bak anvendelser av gruppeteori på telleresultater og tallteorien for hemmelige RSA-koder. I tillegg kan studenten føre elementære matematiske bevis.

Læringsformer og aktiviteter

Følgende læringsformer og aktiviteter er aktuelle i dette kurset: Omvendte og ordinære forelesninger, gruppearbeid og øvinger. Kurset vil inneholde aktiviteter der studentene får trening i (1) å tilegne seg og forstå matematisk kunnskap på egen hånd, og til (2) å formidle denne til andre.

Punkt (1) kan skje ved at studentene først prøver å bevise/forstå et resultat/begrep på egen hånd for deretter gjennomgås i grupper eller plenum. Punkt (2) kan skje gjennom gruppearbeid, presentasjon av løsninger av oppgaver, av bevis av matematiske resultater og av nye matematiske begreper.

Anbefalte forkunnskaper

MA1301 Tallteori, MA1201 Linear algebra og geometri, MA1202 Linear algebra med anvendelser, TMA4110/4115 Matematikk 3 eller liknende.

Kursmateriell

Oppgis ved semesterstart.

Studiepoengreduksjon